Biografi Gauss - Jordan.

Biografi Gauss

Johan Carl Friedrich gauss

Johann Carl Friedrich Gauß (juga dieja Gauss) (lahir di Braunschweig, 30 April 1777 – wafat di Göttingen, 23 Februari 1855 pada umur 77 tahun) adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi; ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Dilahirkan di Braunschweig, Jerman, saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya.

Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu.

Sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa, selain Archimedes dan Isaac

Newton, Gauss melakukan penelitiannya di observatorium astronomi di gottingen, kota kecil di jantung jerman. Yang dengan segera menciptakan tradisi matematis yang membuat Gottingen dan universitasnya menjadi pusat matematika dunia.

Gauss memberikan beragam kontribusi yang variatif pada bidang matematika. Bidang analisis dan geometri mengandung banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss, ide geometri non Euclidis ia garap pada 1797. Tahun 1799 menyumbangkan tesis doktornya mengenai Teorema Dasar Aljabar. Pada 1800 berhasil menciptakan metode kuadrat terkecil . Dan pada 1801 berhasil menjawab pertanyaan yang berusia 2000 tahun dengan membuat polygon 17 sisi memakai penggaris dan kompas. Di tahun ini juga menerbitkan Disquisitiones Arithmeticae, sebuah karya klasik tentang teori bilangan yang paling berpengaruh sepanjang masa. Gauss menghabiskan hampir seluruh hidupnya di Gottingen dan meninggal di sana juga.

Gauss ialah ilmuwan dalam berbagai bidang: matematika, fisika, dan astronomi. Bidang analisis dan geometri menyumbang banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss dalam matematika. Kalkulus (termasuk limit) ialah salah satu bidang analisis yang juga menarik perhatiannya.

Berikut ini merupakan penghargaan kepada Gaus yang dipersembahkan kepada warga jerman.

Tugu dari Gauss & weber

Mata Uang Jerman pecahan 10

Biografi Jordan.

Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli dalam bidang geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya,Handbuch de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi) pada tahun 1988.

Contoh Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.

Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.

Aplikasi untuk mencari Invers

Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks identitas dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks:

Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:

Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:

Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks[AI] sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir:

Eliminasi Gauss-Jordan

Thomas (1984:93-94) mengatakan bahwa setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi yang unik, artinya kita akan memperoleh bentuk eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan.

Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:

1.Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).

2.Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3.Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

4.Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.

Misal kita punya matriks berikut:

Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya nol.

Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk menempatkan entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1.

Baris pertama dipertukarkan dengan baris ke dua (H21)

Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada kolom yang kita peroleh pada langkah 1 adalah a, kalikan dengan baris pertama dengan 1/a sehingga membentuk 1 utama.

Baris pertama dari matriks sebelumnya dikalikan dengan 1/2 disingkat H2(1/2)

Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris di bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.

-2 kali baris pertama sebelumnya ditambahkan ke baris ketiga (H21(-2))

Langkah 5. Sekarang tutuplah baris paling atas dari matriks dan mulailah lagi dengan langkah 1 pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruhnya matriks berada dalam bentuk eselon baris.

lihat kolom ketiga dari kiri tidak semuanya nol

baris kedua dari matriks dikalikan dengan dengan -1/2 untuk memperoleh 1 utama

-5 kali baris kedua ditambahkan pada baris ketiga untuk memperoleh nol di bawah 1 utama.

baris paling atas submatriks ditutup kita kembali ke langkah 1

baris ketiga dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan 1 utama berikutnya.

Langkah 6. Mulailah dengan baris tak nol terakhir dan bergerak ke atas, tambahkan kelipatan yang sesuai dari tiap-tiap baris ke baris di atasnya untuk memperoleh nol di atas 1 utama.

kali baris ketiga dari matriks sebelumnya ditambahkan ke baris kedua.

-6 kali baris ketiga ditambahkan ke baris pertama

5 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama

Langkah 1 – 5 dinamakan Eliminasi Gauss, jika prosedurnya sampai pada langkah 6 dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan.

Dari langkah tersebut kita peroleh persamaan

x1 + 2×2 +3 x4 = 2

x3 = 1

x5=2

Dari persamaan tersebut kita dapat memisalkan nilai x1=s dan x2 = t untuk memperoleh nilai x1 = 2s-3t (s dan t adalah parameter dari SPL tersebut).

Semoga Bermanfaat Gan...

Sumber :
http://kolom-biografi.blogspot.com/2009/01/biografi-carl-friedrich-gauss.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

Penentuan Harga Permintaan dan Penawaran

Penentuan Harga Permintaan dan Penawaran

Teori penawaran dan permintaan (bahasa Inggris: supply and demand) dalam ilmu ekonomi, adalah penggambarkan atas hubungan-hubungan di pasar, antara para calon pembeli dan penjual dari suatu barang. Model penawaran dan permintaan digunakan untuk menentukan harga dan kuantitas yang terjual di pasar. Model ini sangat penting untuk melakukan analisa ekonomi mikro terhadap perilaku para pembeli dan penjual, serta interaksi imereka di pasar. Ia juga digunakan sebagai titik tolak bagi berbagabi model dan teori ekonomi lainnya. Model ini memperkirakan bahwa dalam suatu pasar yang kompetitif, harga akan berfungsi sebagai penyeimbang antara kuantitas yang diminta oleh konsumen dan kuantitas yang ditawarkan oleh produsen, sehingga terciptalah keseimbangan ekonomi antara harga dan kuantitas. Model ini mengakomodasi kemungkian adanya faktor-faktor yang dapat mengubah keseimbangan, yang kemudian akan ditampilkan dalam bentuk terjadinya pergeseran dari permintaan atau penawaran.

A. Permintaan
a. Pengertian, Hukum, Kurva dan Teori Permintaan a. Permintaan (Demand) 
Permintan adalah banyaknya jumlah barang yang diminta pada suatu pasar tertentu dengan tingkat harga tertentu pada tingkat pendapatan tertentu dan dalam periode tertentu.
Beberapa Penentuan Permintaan 
Permintaan seseorang atau suatu masyarakat kepada suatu barang ditentukan oleh faktor-faktor,diantaranya :
1. Harga barang itu sendiri (Px)
2. Harga barang lain ( Py)
3. Pendapatan konsumen (Inc)
4. Cita rasa (T)
5. Iklim (S)
6. Jumlah penduduk (Pop)
7. Ramalan masa yang akan datang (F)
Persamaan
(Qd = F.(Px, Py, Ine,T,S, Pop,F) 
b. Hukum Permintaan (the low of demand) 
Hukum permintaan pada hakikatnya merupakan suatu hipotesis yang menyatakan : “Hubungan antara barang yang diminta dengan harga b arang tersebut dimana hubungan berbanding terbalik yaitu ketika harga meningkat atau naik maka jumlah barang yang diminta akan menurun dan sebaliknya apabila harga turun jumlah barang meningkat.
c. Daftar Permintaan 
Daftar permintaan ialah suatu tabel yang memberi gambaran dalam angka-angka tentang hubungan antara harga dengan jumlah yang diminta masyarakat. Ia menggambarkan besarnya permintaan yang ada pada berbagai tingkat harga.
Contoh :
P (Harga) Q (Quantiti) 
100 2000
200 1500
300 1000
400 500
500 0
Kurva Permintaan 
Kurva Permintaan dapat didefinisikan sebagai : “Suatu kurva yang menggambarkan sifat hubungan anta ra harga suatu barang tertentu dengan jumlah barang tersebut yang diminta para pembeli.” Kurva permintaan berbagai jenis barang pada umumnya menurun dari kiri ke kanan bawah. Kurva yang demikian disebabkan oleh sifat hubungan antara harga dan jumlah yang diminta yang mempunyai sifat hubungan terbalik.


d. Teori Permintaan 
Dapat dinyatakan : “Perbandingan lurus antara permintaan terhadap harg anya yaitu apabila permintaan naik, maka harga relatif akan naik, sebaliknya bila permintaan turun, maka harga relatif akan turun.”
Gerakan sepanjang “dan perubahan kurva permintaan 
a. Gerakan sepanjang “dan perubahan kurva permintaan
Perubahan sepanjang kurva permintaan berlaku apabila harga barang yang diminta menjadi makin tinggi atau makin menurun.

Pergeseran kurva permintaan 
Kurva permintaan akan bergerak kekanan atau kekiri apabila terdapat perubahan – perubahan terhadap permintaan yang diti mbulkan oleh faktor- faktor bukan harga, sekiranya harga barang lain, pendapatan para pembeli dan berbagai faktor bukan harga lainnya mengalami perubahan, maka perubahan itu akan menyebabkan kurva permintaan akan pindah ke kanan atau ke kiri.

B. Pengertian, Hukum, Kurva dan Teori Penawaran a. Penawaran (Supply) 
Penawaran adalah banyaknya barang yang ditawarkan oleh penjual pada suatu pasar tertentu, pada periode tertentu, dan pada tingkat harga tertentu.
a. Penentuan – penentuan Penawaran 
Keinginan para penjual dalam menawarkan barangnya pada berbagai tingkat harga ditentukan oleh beberapa faktor. Yang tepenting adalah :

b. Hukum Penawaran
Hukum penawaran pada dasarnya mengatakan bahwa : “Semakin tinggi harga suatu barang, semakin banyak jumlah barang tersebut akan ditawarkan oleh para penjual. Sebaliknya, makin rendah harga suatu barang, semakin sedikit jumlah barang tersebut yang ditawarkan.”
c. Daftar Penawaran 
Daftar penawaran yang gambaran yang menunjukan jumlah penawaran pada berbagai tingkat harga.
Contoh
P (harga) Qs (quantiti)
200 10
400 30
600 50
800 70
1000 90
d. Kurva Penawaran 
Kurva penawaran dapat didefinisikan sebagai : “Yaitu suatu kurva yang menunjukkan hubungan dianta ra harga suatu barang tertentu dengan jumlah barang tersebut yang ditawarkan”. - Kalau penawaran bertambah diakibatkan oleh faktor-faktor di luar harga, maka supply bergeser ke kiri atas. - Kalau berkurang kurva supply bergeser ke kiri atas - Terbentuknya harga pasar ditentukan oleh mekanisme pasar.


e.Teori Penawaran
Yaitu teori yang menerangkan sifat penjual dalam menawarkan barang yang akan dijual.
Gerakan sepanjang dan pergeseran kurva penawaran 
Perubahan dalam jumlah yang ditawarkan dapat berlaku sebagai akibat dari pergeseran kurva penawaran.

Faktor-faktor yang mempengaruhi permintaan diantaranya :

a.Selera
Apabila selera konsumen terhadap suatu barang dan jasa tinggi maka akan diikuti dengan jumlah barang dan jasa yang diminta akan mengalami peningkatan, demikian sebaliknya. Contohnya: permintaan terhadap telepon genggam

b.Pendapatan konsumen

Apabila pendapatan konsumen semakin tinggi akan diikuti daya beli konsumen yang kuat dan mampu untuk membeli barang dan jasa dalam jumlah yang lebih besar, demikian sebaliknya.

c.Harga barang/jasa pengganti

Konsumen akan cenderung mencari barang atau jasa yang harganya relatif lebih murah untuk dijadikan alternatif penggunaan. Contohnya: bila harga tiket pesawat Jakarta-Surabaya sama harganya dengan tiket kereta api, maka konsumen cenderung akan memilih pesawat sebagai alat transportasi. Contoh lain: untuk seorang pelajar bila harga pulpen lebih mahal dari pensil, maka ia akan cenderung untuk membeli pensil.

d.Harga barang/jasa pelengkap

Keduanya merupakan kombinasi barang yang sifatnya saling melengkapi. Contoh: kompor dengan minyak tanah, karena harga minyak tanah mengalami kenaikan maka orang beralih menggunakan bahan bakar minyak tanah dan beralih ke bahan bakar gas.

e.Perkiraan harga di masa dating

Apabila konsumen menduga harga barang akan terus mengalami kenaikan di masa datang, maka konsumen cenderung untuk menambah jumlah barang yang dibelinya. Contoh: Pada saat krisis ekonomi, ketika konsumen memperkirakan harga-harga sembako esok hari akan melambung tinggi, maka mereka akan memborong sembako tersebut hari ini.

f.Intensitas kebutuhan konsumen

Bila suatu barang atau jasa sangat dibutuhkan secara mendesak dan dirasakan pokok oleh konsumen, maka jumlah permintaan akan mengalami peningkatan. Contoh: kebutuhan akan bahan pokok beras, konsumen bersedia membeli dalam jumlah harga tinggi, walaupun pemerintah sudah menetapkan harga pokok.

Pengertian Penawaran

Penawaran adalah sejumlah barang yang ditawarkan pada tingkat harga tertentu dan waktu tertentu.

Hukum Penawaran

Hukum penawaran berbunyi: bila tingkat harga mengalami kenaikan maka jumlah barang yang ditawarkan akan naik, dan bila tingkat harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan turun. Dalam hukum penawaran jumlah barang yang ditawarkan akan berbanding lurus dengan tingkat harga, di hukum penawaran hanya menunjukkan hubungan searah antara jumlah barang yang ditawarkan dengan tingkat harga.

Kurva Penawaran :

Kurva penawaran adalah kurva yang menunjukkan hubungan berbagai jumlah barang dan jasa yang ditawarkan oleh produsen pada berbagai tingkat harga. Kurva ini akan menghubungkan titik-titik koordinat pada sumbu harga (sumbu Y) dengan sumbu jumlah barang (sumbu X). Contoh: jumlah pakaian batik yang ditawarkan Ibu Nina pada berbagai tingkat harga.

Faktor-faktor yang mempengaruhi penawaran, diantaranya :

1.Biaya produksi

Harga bahan baku yang mahal akan mengakibatkan tingginya biaya produksi dan menyebabkan produsen menawarkan barang dalam jumlah terbatas untuk menghindari kerugian karena takut tidak laku.

2.Teknologi
adanya kemajuan teknologi akan menyebabkan pengurangan terhadap biaya produksi dan produsen dapat menawarkan barang dalam jumlah yang lebih besar lagi.
Harga barang pelengkap dan pengganti

Apabila harga barang pengganti mengalami kenaikan maka produsen akan memproduksi lebih banyak lagi karena berasumsi konsumen akan beralih ke barang pengganti karena harganya lebih murah.

3.Pajak
semakin tinggi tarif pajak yang dikenakan akan berakibat naiknya harga barang dan jasa yang akan membawa dampak pada rendahnya permintaan konsumen dan berkurangnya jumlah barang yang ditawarkan.

4.Perkiraan harga barang di masa dating

Apabila kondisi pendapatan masyarakat meningkat, biaya produksi berkurang dan tingkat harga barang dan jasa naik, maka produsen akan menambah jumlah barang dan jasa yang ditawarkan. Tetapi bila pendapatan masyarakat tetap, biaya produksi mengalami peningkatan, harga barang dan jasa naik, maka produsen cenderung mengurangi jumlah barang dan jasa yang ditawarkan atau beralih pada usaha lain.

5.Tujuan dari perusahaan

Bila perusahaan berorientasi untuk dapat menguasai pasar, maka dia harus mampu menekan harga terhadap barang dan jasa yang ditawarkan sehingga keuntungan yang diperoleh kecil. Bila orientasinya pada keuntungan maksimal maka perusahaan menetapkan harga yang tinggi terhadap barang dan jasa yang ditawarkannya.

6. harga barang itu sendiri

Apabila harga barang yang ditawarkan mengalami kenaikan, maka jumlah barang yang ditawarkan juga akan meningkat. Sebaliknya jika barang yang ditawarkan turun jumlah barang yang ditawarkan penjual juga akan turun. Misalnya jika harga sabun mandi meningkat dari Rp1.500,00 menjadi Rp2.000,00, maka jumlah sabun mandi yang penjual tawarkan akan meningkat pula.

7. harga barang pengganti (subtitusi)

Apabila harga barang pengganti meningkat maka penjual akan meningkatkan jumlah barang yang ditawarkan. Penjual berharap, konsumen akan beralih dari barang pengganti ke barang lain yang ditawarkan, karena harganya lebih rendah. Contohnya harga kopi meningkat menyebabkan harga barang penggantinya yaitu teh lebih rendah, sehingga penjual lebih banyak menjual teh.

8. jumlah penduduk

Pertambahan penduduk akan memengaruhi jumlah barang yang diminta. Jika jumlah penduduk dalam suatu wilayah bertambah banyak, maka barang yang diminta akan meningkat..

9. harga barang itu sendiri.

Harga barang akan memengaruhi jumlah barang yang diminta. Jika harga naik jumlah permintaan barang tersebut akan meningkat, sedangkan jika harga turun maka jumlah permintaan barang akan menurun.

PENENTUAN HARGA KESEIMBANGAN:

harga keseimbangan atau harga ekuilibrium adalah harga yang terbentuk pada titik pertemuan kurva permintaan dan kurva penawaran. Terbentuknya harga dan kuantitas keseimbangan di pasar merupakan hasil kesepakatan antara pembeli (konsumen) dan penjual (produsen) di mana kuantitas yang diminta dan yang ditawarkan sama besarnya. Jika keseimbangan ini telah tercapai, biasanya titik keseimbangan ini akan bertahan lama dan menjadi patokan pihak pembeli dan pihak penjual dalam menentukan harga. Sehingga terjadilah transaksi antara penjual dan pembeli

sumber : 

• http://fyanghokil.wordpress.com/2011/03/07/penentuan-harga-permintaan-penawaran/
• http://hertoniraditya.wordpress.com/2012/03/21/penentuan-harga-permintaan-penawaran/
• http://abeteamone.blogspot.com/2012/05/bab-2-permintaan-dan-penawaran.html